Los conocimientos matemáticos que pueblan las aulas responden
habitualmente a títulos reconocidos por los docente: los Números
Naturales y sus Operaciones, los Números Racionales y sus Operaciones,
el estudio de las Figuras y de los Cuerpos Geométricos, de sus
propiedades; y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las
medidas y las proporciones.
Ahora bien, con estos mismos “títulos”, podrían desarrollarse en su
Escuela proyectos de enseñanza con características muy diferentes y,
eventualmente, los aprendizajes de los alumnos también serían
diferentes.
¿Por qué afirmamos esto?
Hay muchas maneras de conocer un concepto matemático. Las mismas
dependen de todo lo que una persona (en este caso, los alumnos) haya
tenido oportunidad de realizar con relación a ese concepto. O sea,
el conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un
concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese
alumno.
Y si los proyectos de enseñanza propician prácticas diferentes, las
aproximaciones que tendrán los alumnos a los conocimientos matemáticos
serán muy diferentes.
¿Cómo son determinadas esas prácticas?
Algunos de los elementos que configuran esas prácticas son, entre otros:
- Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas, su secuenciación, sus modos de presentación que se propongan a los alumnos
- Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les propongan
- Las modalidades de intervención docente a lo largo del proceso de enseñanza
De allí que en los contenidos de enseñanza sería interesante que
están formados tanto por esos títulos fácilmente reconocibles (los
números, las operaciones, etc.), como por las formas en que son
producidos y las prácticas por medio de las cuales se elaboran. La
intención es acercar a los alumnos a una porción de la cultura
matemática identificada no sólo por las relaciones establecidas
(propiedades, definiciones, formas de representación, etc.) sino también
por las características del trabajo matemático. Por eso, las prácticas
también forman parte de los contenidos a enseñar y se encuentran
estrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser
enseñados.
¿Cuáles son algunas de las marcas que se pueden identificar como parte de las prácticas matemáticas?
El avance de la matemática está marcado por problemas externos e
internos a esta disciplina que han demandado la construcción de nuevos
conocimientos. Una característica central entonces del trabajo
matemático es la resolución de diferentes tipos de problemas.
Para que los alumnos puedan también involucrarse en la producción de
conocimientos matemáticos, será necesario -aunque no suficiente-
enfrentarlos a diversos tipos de problemas. Un problema es tal, en tanto
y en cuanto permite a los alumnos involucrarse en el desafío de
resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la
producción de ciertas relaciones en la dirección de una solución
posible, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta.
Ahora bien, hay todo un recorrido a pensar desde la enseñanza que
permita establecer puentes –no del todo claros- entre las resoluciones
genuinas que producen los alumnos y aquellas más convencionales, más
económicas, más formales.
Otra característica de la actividad matemática es el despliegue de un
trabajo de tipo exploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar
para imaginar o entender, tomar decisiones, conjeturar, etc. Algunas
exploraciones han demandado a los matemáticos años de trabajo e incluso
muchos problemas y preguntas elaborados hace mucho tiempo siguen en esta
etapa de exploración porque aún no han sido resueltos. Por lo tanto, en
la escuela se deberá ofrecer a los alumnos -frente a la resolución de
problemas- un espacio y un tiempo que autoricen los ensayos y errores,
habiliten aproximaciones a la resolución que muchas veces serán
correctas y otras tantas incorrectas, propicien la búsqueda de ejemplos
que ayuden a seguir ensayando, probar con otros recursos, etc. Explorar,
probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la búsqueda
es parte del trabajo matemático que se propone desplegar en el aula.
Otro aspecto que es posible identificar se refiere a la producción de
un modo de representación pertinente para la situación que se pretende
resolver. A lo largo de la historia, los modos de representar también
han sido una preocupación para los matemáticos. Las diferentes formas de
representación matemática forman parte del conocimiento en cuestión.
Será necesario favorecer en la escuela, tanto la producción de
representaciones propias por parte de los alumnos durante la exploración
de ciertos problemas, como el análisis, el estudio y uso de diversas
formas de representación de la matemática. El establecimiento de puentes
entre las representaciones producidas por los alumnos y las que son
reconocidas en la matemática será también objeto de estudio.
Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la
historia de la matemática han admitido respuestas que no podían ser
probadas inmediatamente y otras aún no tienen demostración. Estas
respuestas, hasta que adquieren carácter de verdad, son reconocidas con
el nombre de conjeturas.
En las interacciones que se propicien en el aula, a raíz de la
resolución y análisis de diferentes problemas, se podrá promover que los
alumnos expliciten las ideas que van elaborando (las respuestas que
encuentren, las relaciones que establezcan, etc.) aún cuando no sea
claro para ellos, desde el principio, si son del todo ciertas. Estas
ideas y las respuestas provisorias que producen los niños son conjeturas
o hipótesis que demandarán más conocimientos para que dejen de serlo.
El quehacer matemático involucra también determinar la validez de los
resultados obtenidos y de las conjeturas producidas, es decir recurrir a
los conocimientos matemáticos para decidir si una afirmación, una
relación, un resultado son o no válidos y bajo qué condiciones. Es
necesario entonces que los alumnos puedan, progresivamente, “hacerse
cargo” por sus propios medios -y usando diferentes tipos de
conocimientos matemáticos- de dar cuenta de la verdad o falsedad de los
resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen.
Determinar “bajo qué condiciones” una conjetura es cierta o no,
implica analizar si aquello que se estableció como válido para algún
caso particular funciona para cualquier otro caso o no. A veces la
validez de una conjetura será para todos los casos, pudiendo elaborarse
entonces una generalización. Otras veces la conjetura será válida sólo
para un conjunto de casos. Generalizar o determinar el dominio de
validez es parte también del trabajo matemático.
Una última característica a destacar del trabajo matemático es la
reorganización y el establecimiento de relaciones entre diferentes
conceptos ya reconocidos. Reordenar y sistematizar genera nuevas
relaciones, nuevos problemas y permite producir otros modelos
matemáticos.
En definitiva, no se trata de enseñar en la escuela primaria algunas
técnicas para que luego, más adelante, sólo algunos alumnos accedan a
las maneras de pensar y producir en matemática, sino que se intenta,
que, desde los primeros contactos con esta disciplina, estudiar
matemática sea una forma de acercarse a sus maneras de producir.
Para finalizar esta breve síntesis, vale la pena destacar que
propiciar que los alumnos se enfrenten a diferentes tipos de problemas,
se animen a explorar, ensayar, buscar formas de representar las
relaciones que elaborando, intenten dar cuenta de la validez o no de lo
producido, buscar generalizar algunas relaciones requiere de un trabajo
sistemático que no puede “caer” bajo la responsabilidad de un solo
docente.
Demanda analizar las condiciones que harían viable una propuesta de
esta naturaleza, y que les permita a los docentes actuar, en cierta
medida, de manera similar a la que se sugiere que “funcionen” los
alumnos. Es decir, se trata entonces de analizar el modo en que se
generan condiciones de manera tal de que los docentes puedan también
identificar y resolver problemas de enseñanza, buscar o elaborar
proyectos fundamentados, probar nuevos recorridos, descartar lo que no
funciona, reiniciar o modificar aquellos aspectos que le resulten poco
sustantivos, etc. Resultaría contradictorio exigir a los alumnos este
tipo de trabajo y que nosotros, los docentes, no lo llevemos a cabo en
nuestras Instituciones.
De la misma manera, resultaría contradictorio que solicitemos a los
alumnos producir relaciones matemáticas interactuando con sus
compañeros, discutiendo ideas, y nosotros los docentes no lo hagamos.
Este desafío no puede ser asumido por cada uno de manera particular.
En consecuencia resulta necesario configurar nuevos escenarios que
den lugar a la producción de ideas vinculadas a los objetos de enseñanza
y que contemplen condiciones para que los alumnos se involucren
activamente en el tipo de tarea descripta anteriormente. Esta producción
por parte de las Instituciones resultará original y supone una ruptura
con las prácticas en las que hemos sido formados. De allí que
seguramente solo podrá desarrollarse en un espacio colectivo de trabajo
que se constituye en ámbito de elaboración, validación y sostenimiento
de proyectos de enseñanza.
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